tests de fisher et student
tests de fisher et student
section : tests sur des échantillons gaussiens
précédent : valeurs de l'espérance et de la variance
suivant : analyse de variance
tests de
fisher
et
student
les tests de
fisher
et
student
servent à comparer les
moyennes
et les
variances
de deux
échantillons
gaussiens.
reprenons l'exemple
d'un traitement destiné à diminuer le taux de cholestérol. des taux
sont mesurés sur une
population
témoin sans traitement, puis sur
des individus après traitement. le taux moyen après traitement est
inférieur (du moins l'espère-t-on) au taux moyen du groupe témoin.
la question est de savoir si la différence observée est suffisante
pour rejeter
l'hypothèse
que le traitement n'a pas d'effet.
pour le
modèle probabiliste,
on considère deux échantillons
indépendants.
est un
échantillon
de la loi
,
est un
échantillon
de la loi
.
on note :
et
les
moyennes empiriques,
et
les
variances empiriques.
le résultat théorique permettant de comparer les
moyennes empiriques
suppose que l'on fasse l'hypothèse
que les
variances théoriques
et
sont égales. le but du
test de fisher
est de tester cette
hypothèse
:
d'après le théorème 3.1, les rapports des
variances empiriques
aux
variances exactes
suivent des
lois du chi-deux.
le rapport pondéré de deux
variables aléatoires indépendantes
suivant des
lois du chi-deux
suit une
loi de fisher.
théorème 3.3
le rapport
suit la
loi de fisher
.
la
statistique
du
test de fisher
est :
si
est exacte, suit la loi
.
on rejettera
si la valeur observée pour est trop grande
ou trop petite. c'est donc un
test bilatéral
dont la règle
de rejet au
seuil
est :
rejet de
sous l'hypothèse
d'égalité des variances, le théorème suivant
permet d'évaluer les différences entre
moyennes empiriques.
théorème 3.4
si
, la
variable aléatoire
:
suit la
loi de student
.
ce résultat permet de tester
l'hypothèse
:
en comparant la valeur prise par la
statistique
:
aux
quantiles
de la
loi de student
. cette procédure
porte le nom de
test de student
.
supposons que sur les 30 patients du groupe témoin on ait observé un
taux de cholestérol moyen de 240mg/dl avec un
écart-type
de 40mg/dl.
sur les 20 patients du groupe traité, on a observé un taux moyen de
210mg/dl avec un
écart-type
de 50mg/l.
la
statistique
du
test de fisher
prend la valeur 0.690, qui correspond
à une
p-valeur
(pour le
test
bilatéral) de :
on acceptera donc
l'hypothèse
d'égalité des
variances.
la
statistique
du
test de student
prend la valeur 2.30, soit une
p-valeur
de :
on rejette
au
seuil
0.05, la baisse est déclarée
significative.
l'hypothèse
de normalité, sous laquelle les tests de
fisher
et
student
sont valides n'est pas toujours vérifiée, ni même vérifiable
en pratique. pour des
échantillons
de grande taille, le
théorème central limite
assure la
normalité asymptotique
des moyennes
empiriques. le résultat suivant ne suppose ni que les
échantillons
sont
gaussiens
ni que leurs
variances
sont égales.
théorème 3.5
quand et tendent vers l'infini, la loi de la
variable aléatoire
:
converge vers la
loi normale
.
reprenons les
données
de l'exemple précédent. la
statistique
:
prend la valeur 2.246, dont la
p-valeur
(par rapport à la loi
est :
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